" /> " />
Astronomija

Pretvorba ekvatorialnih koordinat v kartezijeve koordinate za ekstragalaktične razdalje

Pretvorba ekvatorialnih koordinat v kartezijeve koordinate za ekstragalaktične razdalje


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Poskušam iskati kopice galaksij z algoritmom prijateljev prijateljev (FoF). Imam ekvatorialne koordinate ($ alpha, delta $) in rdeči premiki ($0.5<>) galaksij, ki jih želim pretvoriti v kartezijanske koordinate, z naslednjim:

$$ X = R cdot cos ( delta) cos ( alpha) Y = R cdot cos ( delta) sin ( alpha) Z = R cdot sin ( delta ) $$

Težava, ki jo imam, je pravilna odločitev $ R $ za uporabo: naj bo to komovna razdalja, razdalja kotnega premera ali razdalja svetilnosti, glede na to, da imam za delo samo rdeče premike? Kako določimo najboljšo merilno razdaljo LOS, ki jo bomo uporabili v tem primeru? Ali obstaja boljši način za to?

Na primer, pri astropiji njihova privzeta razdalja razdalja izračuna razdaljo od rdečega premika (in dane kozmologije) z uporabo razdalje svetilnosti.

Reference

  • Nekaj ​​opomb o algoritmu prijateljev prijateljev

Ta razprava o kozmoloških razdaljah Davida Hogga se mi zdi zelo koristna pri odgovarjanju na tovrstna vprašanja. V oddelku 4 pravi:

Razdalja vidnega polja med dvema bližnjima dogodkoma (tj. Blizu v rdečem premiku ali razdalji) je razdalja, ki bi jo lokalno izmerili med današnjimi dogodki, če bi bili ti dve točki zaklenjeni v Hubblov tok. To je pravilno merilo razdalje za merjenje vidikov obsežne strukture, vtisnjene v Hubblov tok, npr. Razdalje med "stenami".

To bi mi nakazovalo, da želite izmeriti razdaljo za svojo težavo, vendar vam priporočam, da v tem članku preberete naprej, da se prepričate.


Geografski koordinatni sistem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

A geografski koordinatni sistem (GCS) je koordinatni sistem, povezan s položaji na Zemlji (geografski položaj). GCS lahko daje položaje:

  • kot sferični koordinatni sistem z uporabo zemljepisne širine, dolžine in nadmorske višine & # 911 & # 93
  • kot koordinate zemljevida, projicirane na ravnino, po možnosti vključno z nadmorsko višino & # 911 & # 93
  • kot zemeljsko usmerjene, na zemljo fiksne (ECEF) kartezične koordinate v 3-prostoru
  • kot niz številk, črk ali simbolov, ki tvorijo geokodo.

V geodetskih koordinatah in koordinatah zemljevidov je razporeditev koordinat tako, da ena od števil predstavlja navpični položaj, dve številki pa vodoravni položaj. & # 912 & # 93


Vsebina

Galaktična zemljepisna dolžina [uredi]

Zemljepisna dolžina (simbol l ) meri kotno razdaljo predmeta proti vzhodu vzdolž galaktičnega ekvatorja od galaktičnega središča. Analogno zemeljski dolžini se galaktična dolžina običajno meri v stopinjah (°).

Galaktična širina [uredi]

Latitude (simbol b ) meri kot predmeta severno od galaktičnega ekvatorja (ali srednje ravnine), gledano z Zemlje. Analogno zemeljski širini se galaktična širina običajno meri v stopinjah (°).


Geodetska referenca [uredi]

Da bi bili nedvoumni glede smeri "navpične" in "vodoravne" površine, nad katero merijo, izdelovalci zemljevidov izberejo referenčni elipsoid z določenim izvorom in usmeritvijo, ki najbolj ustreza njihovim potrebam za območje, ki ga preslikajo. Nato izberejo najprimernejše preslikavanje sferičnega koordinatnega sistema na tisti elipsoid, imenovan zemeljski referenčni sistem ali geodetska referenčna točka.

Datumi so lahko globalni, kar pomeni, da predstavljajo celotno Zemljo ali pa so lokalni, kar pomeni, da predstavljajo elipsoid, ki je najbolj primeren le za del Zemlje. Točke na površini Zemlje se gibljejo med seboj zaradi gibanja celinskih plošč, pogrezanja in dnevnega gibanja Zemlje, ki ju povzročata Luna in Sonce. To dnevno gibanje je lahko celo meter. Celinsko gibanje je lahko do 10 cm na leto ali 10 m v stoletju. Območje visokega tlaka vremenskega sistema lahko povzroči potop 5 mm. Zaradi taljenja ledenih plošč v zadnji ledeni dobi se Skandinavija na leto dvigne za 1 cm, sosednja Škotska pa le za 0,2 cm. Te spremembe so nepomembne, če se uporablja lokalna referenčna točka, vendar so statistično pomembne, če se uporablja globalna referenčna točka. & # 911 & # 93

Primeri globalnih referenčnih točk vključujejo Svetovni geodetski sistem (WGS 84), privzeto referenčno točko, ki se uporablja za sistem globalnega določanja položaja, & # 91n 3 & # 93 in Mednarodni zemeljski referenčni okvir (ITRF), ki se uporablja za oceno kontinentalnega odnašanja in deformacije skorje. & # 916 & # 93 Razdalja do Zemljinega središča se lahko uporablja tako za zelo globoke položaje kot za položaje v vesolju. & # 911 & # 93

Lokalni podatki, ki jih je izbrala nacionalna kartografska organizacija, vključujejo severnoameriški datum, evropski ED50 in britanski OSGB36. Glede na lokacijo referenčna točka zagotavlja zemljepisno širino & # x03D5 < displaystyle phi> in zemljepisno dolžino & # x03BB < displaystyle lambda>. V Združenem kraljestvu se uporabljajo trije skupni zemljepisni širini, dolžini in višini. WGS 84 se v Greenwichu razlikuje od tistega, ki se uporablja na objavljenih zemljevidih ​​OSGB36, za približno 112 m. Vojaški sistem ED50, ki ga uporablja Nato, se razlikuje od približno 120 do 180 m. & # 911 & # 93

Zemljepisna širina in dolžina na zemljevidu, narejenem glede na lokalno referenčno točko, morda ne bo enaka zemljepisni širini in dolžini, pridobljeni s sprejemnikom GPS. Koordinate iz sistema za preslikavo lahko včasih s preprostim prevodom približno spremenimo v drugo referenčno točko. Na primer, za pretvorbo iz ETRF89 (GPS) v irsko mrežo dodajte 49 metrov na vzhod in 23,4 metra od severa. & # 917 & # 93 Na splošno se ena referenčna točka spremeni v katero koli drugo referenčno točko s postopkom, imenovanim Helmertove transformacije. To vključuje pretvorbo sferičnih koordinat v kartezične koordinate in uporabo pretvorbe sedmih parametrov (prevajanje, tridimenzionalno vrtenje) in pretvorbo nazaj. & # 911 & # 93

V priljubljeni programski opremi GIS so podatki, ki se projicirajo na zemljepisni širini / dolžini, pogosto predstavljeni kot „geografski koordinatni sistem“. Podatki o zemljepisni širini / dolžini, če je referenčna točka severnoameriški datum iz leta 1983, so označeni z „GCS North American 1983“.


Merjenje višine z uporabo referenčnih točk

Kompleksnost problema

Če želite v celoti določiti lokacijo topografskega objekta na, na Zemlji ali nad Zemljo, morate določiti tudi navpično razdaljo od središča Zemlje ali od površine Zemlje.

Zemlja ni krogla, temveč nepravilna oblika, ki se približuje dvoosnemu elipsoidu. Je skoraj sferičen, vendar ima ekvatorialno izboklino, zaradi česar je polmer na ekvatorju približno 0,3% večji od polmera, izmerjenega skozi polove. Krajša os približno sovpada z osjo vrtenja. Čeprav so zgodnji navigatorji mislili na morje kot na ravno površino, ki bi jo lahko uporabili kot navpično referenčno točko, to dejansko ni tako. Zemlja ima v svojem gravitacijskem polju vrsto plasti enake potencialne energije. Višina je meritev pod pravim kotom na to površino, približno proti središču Zemlje, toda lokalne razlike povzročajo neenakomerne (čeprav približno elipsoidne) plasti enakovrednosti. Izbira sloja za določanje višine je poljubna.

Skupne izhodiščne črte

Izhodišča skupne višine vključujejo [2]

  • Površina elipsoida referenčne točke, kar ima za posledico elipsoidna višina
  • Povprečna gladina morja, kot jo opisuje gravitacijski geoid, daje ortometrično višino [1] [7]
  • Navpična referenčna točka, ki daje dinamično višino glede na znano referenčno višino.

Višina skupaj z zemljepisno širino in dolžino zagotavlja tridimenzionalnost geodetske koordinate ali geografske koordinate za lokacijo. [8]

Datumi

Da bi bili nedvoumni glede smeri "navpičnice" in "površine", nad katero merijo, izdelovalci zemljevidov izberejo referenčni elipsoid z določenim izvorom in usmeritvijo, ki najbolj ustreza njihovim potrebam za območje, ki ga preslikajo. Nato izberejo najprimernejše preslikavanje sferičnega koordinatnega sistema na tisti elipsoid, imenovan a zemeljski referenčni sistem ali geodetska referenčna točka.

Datumi so lahko globalno, kar pomeni, da predstavljajo vso zemljo ali pa so lokalno, kar pomeni, da predstavljajo najboljši elipsoid le na delu zemlje. Točke na površini Zemlje se gibljejo med seboj zaradi gibanja celinskih plošč, pogrezanja in dnevnega gibanja, ki jih povzročajo Luna in plimovanja. Dnevno gibanje je lahko celo meter. Celinsko gibanje je lahko do 10 cm na leto ali 10 m v stoletju. Območje visokega tlaka vremenskega sistema lahko povzroči potop 5 mm. Zaradi taljenja ledenih plošč v zadnji ledeni dobi se Skandinavija na leto dvigne za 1 cm, sosednja Škotska pa le za 0,2 cm. Te spremembe so nepomembne, če se uporablja lokalna referenčna točka, vendar so statistično pomembne, če se uporablja globalna referenčna točka. [1]

Primeri globalnih referenčnih točk vključujejo Svetovni geodetski sistem (WGS 84), privzeto referenčno točko, uporabljeno za Global Positioning System [n 4], in Mednarodni zemeljski referenčni okvir (ITRF), ki se uporablja za oceno kontinentalnega odnašanja in deformacije skorje. [9] Razdalja do Zemljinega središča se lahko uporablja tako za zelo globoke položaje kot za položaje v vesolju. [1]

Lokalni podatki, ki jih je izbrala nacionalna kartografska organizacija, vključujejo severnoameriški datum, evropski ED50 in britanski OSGB36. Glede na lokacijo referenčna točka določa zemljepisno širino in dolžino. V Združenem kraljestvu se uporabljajo trije skupni zemljepisni širini, dolžini in višini. WGS 84 se v Greenwichu razlikuje od tistega, ki se uporablja na objavljenih zemljevidih ​​OSGB36, za približno 112 m. Vojaški sistem ED50, ki ga uporablja Nato, se razlikuje za približno 120 do 180 m. [1]

Zemljepisna širina in dolžina na zemljevidu, narejenem na podlagi lokalne referenčne točke, morda ne bosta enaki kot na sprejemniku GPS. Koordinate iz sistema za preslikavo lahko včasih s preprostim prevodom približno spremenimo v drugo referenčno točko. Na primer, za pretvorbo iz ETRF89 (GPS) v irsko mrežo dodajte 49 metrov na vzhod in 23,4 metra od severa. [10] Na splošno se ena referenčna točka spremeni v katero koli drugo referenčno točko s postopkom, imenovanim Helmertove transformacije. To vključuje pretvorbo sferičnih koordinat v kartezične koordinate in uporabo pretvorbe sedmih parametrov (prevajanje, tridimenzionalno vrtenje) in pretvorbo nazaj. [1]

V priljubljeni programski opremi GIS so podatki, ki se projicirajo na zemljepisni širini / dolžini, pogosto predstavljeni kot „geografski koordinatni sistem“. Podatki o zemljepisni širini / dolžini, če je referenčna točka severnoameriški datum iz leta 1983, so označeni z „GCS North American 1983“.


Pretvorba ekvatorialnih koordinat v kartezijeve koordinate za ekstragalaktične razdalje - Astronomija

Koncept a koordinirati zemljevid, oz koordinirati diagram je osrednjega pomena za teorijo mnogovrstij. A koordinirati zemljevid je v bistvu a koordinirati sistem za podmnožico danega prostora z lastnostjo, da ima vsaka točka točno en niz koordinat. Natančneje, a koordinirati map je homeomorfizem od odprte podskupine prostora X do odprte podskupine R n. Pogosto ni mogoče zagotoviti enega doslednega koordinirati sistem za celoten prostor. V tem primeru je zbirka koordinirati zemljevidi so sestavljeni tako, da tvorijo atlas, ki pokriva prostor. Prostor, opremljen s takim atlasom, se imenuje razdelilnik in na razdelilniku je mogoče določiti dodatno strukturo, če je zgradba skladna, če koordinirati zemljevidi se prekrivajo. Na primer, diferenciabilen kolektor je kolektor, pri katerem se spremeni koordinata z enega koordinirati preslikava na drugega je vedno diferencirana funkcija.

Kot je opisano zgoraj, čas koordinirati lahko v omejenem obsegu ponazorimo z ustreznim časom ure, ki je navidezno neskončno daleč od zanimivih predmetov in počiva glede na izbrani referenčni okvir. Na to navidezno uro, ker je zunaj vseh gravitacijskih vodnjakov, gravitacijsko časovno raztezanje ne vpliva. Pravi čas predmetov v gravitacijskem vodnjaku bo minil počasneje kot koordinirati čas, tudi če mirujejo glede na koordinirati referenčni okvir. Pri vsakem predmetu, ki nas zanima, je treba upoštevati gravitacijsko in gibalno dilatacijo časa, učinki pa so funkcije hitrosti glede na referenčni okvir in gravitacijskega potenciala, kot je navedeno v.

Še ena pogosta koordinirati sistem za ravnino je polarni koordinirati sistem. Za pol je izbrana točka, za polarno os pa se vzame žarek iz te točke. Za dani kot θ je skozi pol ena črta, katere kot s polarno osjo je θ (izmerjen v nasprotni smeri urnega kazalca od osi do črte). Potem je na tej črti edinstvena točka, katere podpisana razdalja od izhodišča je r za določeno število r. Za dani par koordinat (r, θ) obstaja ena točka, vendar je katera koli točka predstavljena s številnimi pari koordinat. Na primer (r, θ), (r, θ + 2π) in (−r, θ + π) so vse polarne koordinate za isto točko. Pol predstavlja (0, θ) za katero koli vrednost θ.

Naslednja tabela navaja skupne koordinirati sistemov, ki jih uporablja astronomska skupnost. Temeljna ravnina deli nebesno kroglo na dve enaki polobli in določa osnovno črto širinskih koordinat, podobno kot ekvator v geografskem koordinirati sistem. Polovi se nahajajo na ± 90 ° od osnovne ravnine. Primarna smer je izhodišče vzdolžnih koordinat. Izvor je ničelna točka razdalje, "središče nebesne krogle", čeprav je opredelitev nebesne krogle dvoumna glede opredelitve njene središčne točke.

Točko v ravnini lahko v homogenih koordinatah predstavimo s trojko (x, y, z), kjer sta x / z in y / z kartezične koordinate točke. To uvaja "dodatno" koordinirati ker sta za določitev točke na ravnini potrebni le dve, vendar je ta sistem koristen, ker predstavlja katero koli točko na projektivni ravnini brez uporabe neskončnosti. Na splošno homogen koordinirati sistem je tisti, pri katerem so pomembna le razmerja koordinat in ne dejanske vrednosti.

A koordinirati časovna lestvica (oz koordinirati časovni standard) je časovni standard, zasnovan za uporabo kot čas koordinirati pri izračunih, ki morajo upoštevati relativistične učinke. Izbira časa koordinirati pomeni izbiro celotnega referenčnega okvira.

Obstajajo štirje namensko zasnovani koordinirati časovne lestvice, ki jih je IAU določil za uporabo v astronomiji. Barycentric Koordinirati Čas (TCB) temelji na referenčnem okviru, ki prihaja z baricentrom Osončja, in je bil določen za uporabo pri izračunu gibanja teles znotraj Osončja. S stališča opazovalcev na Zemlji pa splošna časovna dilatacija, vključno z gravitacijsko časovno dilatacijo, povzroča barycentrično Koordiniraj Čas, ki temelji na sekundi SI, se pri opazovanju z Zemlje pokaže, da imajo časovne enote, ki minejo hitreje kot sekunde SI, izmerjene z zemeljsko uro, s hitrostjo odstopanja približno 0,5 sekunde na leto. V skladu s tem je bila za številne praktične astronomske namene opredeljena spremenjena sprememba TCB, ki je bila iz zgodovinskih razlogov imenovana Barycentric Dynamical Time (TDB), s časovno enoto, ki pri opazovanju s površja Zemlje izračuna sekundo SI in tako zagotovi, da vsaj za nekaj tisočletij TDB ostane v 2 milisekundah zemeljskega časa (TT), čeprav bi bila časovna enota TDB, če bi jo izmeril zgoraj opisani hipotetični opazovalec, v mirovanju v referenčnem okviru in na neskončni razdalji, zelo malo počasnejša od SI sekunda (za 1 del v 1 / LB = 1 del v 10 8 /1,550519768).

Geocentrično Koordinirati Čas (TCG) temelji na referenčnem okviru, ki prihaja z geocentrom (središčem Zemlje), in je načeloma opredeljen za uporabo pri izračunih glede pojavov na ali v območju Zemlje, kot so rotacija planetov in gibanje satelitov. V bistveno manjšem obsegu kot pri TCB v primerjavi s TDB, vendar iz ustreznega razloga SI sekunda TCG, če jo opazujemo s površja Zemlje, kaže rahel pospešek v sekundah SI, ki ga dosežejo ure na zemeljski površini. V skladu s tem je bil tudi zemeljski čas (TT) opredeljen kot pomanjšana različica TCG, pri čemer je skaliranje takšno, da je na določenem geoidu stopnja enote enaka sekundi SI, čeprav je v smislu TCG druga sekunda SI TT enaka zelo malo počasneje (tokrat za 1 del v 1 / LG = 1 del v 10 10 /6,969290134).

Prototipni primer a koordinirati sistem je kartezijanski koordinirati sistem. V ravnini se izbereta dve pravokotni premici in koordinate točke se vzamejo kot podpisane razdalje do daljic. V treh dimenzijah so izbrane tri medsebojno pravokotne ravnine in tri koordinate točke so podpisane razdalje do vsake ravnine. To lahko posplošimo, da ustvarimo n koordinat za katero koli točko v n-dimenzionalnem evklidskem prostoru.

Če je v tridimenzionalnem prostoru koordinirati drži konstantno, druga dva pa se lahko spreminjata, potem nastala površina imenujemo a koordinirati površino. Na primer koordinirati površine, dobljene z držanjem ρ konstante v sferični koordinirati sistem so krogle s središčem v izhodišču. V tridimenzionalnem prostoru je presečišče dveh koordinirati površin je a koordinirati krivulja. V kartezijanskem koordinirati sistem, o katerem lahko govorimo koordinirati letala.

Glede na smer in vrstni red koordinirati osi je lahko tridimenzionalni sistem desničar ali levičar. To je eno izmed mnogih koordinirati sistemov.

Podobno, koordinirati hiperpovršine so (n - 1) -dimenzionalni prostori, ki so posledica določitve enega samega koordinirati n-dimenzionalne koordinirati sistem.

V dveh dimenzijah, če je ena od koordinat v točki koordinirati sistem je konstanten in drugi koordinirati se lahko spreminja, potem se dobljena krivulja imenuje a koordinirati krivulja. V kartezijanskem koordinirati sistem koordinirati krivulje so pravzaprav ravne črte koordinirati črte. Natančneje, gre za črti, vzporedni z eno od koordinirati osi. Za druge koordinirati Sistemi krivulje koordinat so lahko splošne krivulje. Na primer koordinirati krivulje v polarnih koordinatah, dobljene z držanjem konstante r, so krožnice s središčem v izhodišču. Koordinatni sistemi za evklidski prostor, ki ni kartezijski koordinirati sistem se imenujejo ukrivljeni koordinirati sistemov. Ta postopek ni vedno smiseln, na primer ni koordinirati krivulje v homogeni koordinirati sistem.

Če kombiniramo a koordinirati stanje, ki je Lorentzove kovariante, na primer harmonika koordinirati Z zgoraj omenjenim pogojem z Einsteinovimi enačbami polja dobimo teorijo, ki je v nekem smislu skladna s posebno in splošno relativnostjo. Med najpreprostejšimi primeri takšnih koordinirati pogoji so naslednji: #

CCMM koordinirati sistem se od standardnih kartezičnih koordinat razlikuje po tem, da ima vrtljivo mizo. Iz tega razloga sferična koordinirati sistem se uporablja za določanje osi. Popolno definicijo najdete tukaj: valjasti koordinirati sistem omogoča izdelavo merilnikov ročične gredi, merilnikov gredi in kontrolnih strojev za druge namene uporabe gredi.

Valjasti koordinirati sistem je eden izmed mnogih tridimenzionalnih koordinirati sistemov. Za pretvorbo med njimi se lahko uporabijo naslednje formule.

Kot sferična koordinirati sistem je le eden izmed mnogih tridimenzionalnih koordinirati obstajajo enačbe za pretvorbo koordinat med sferičnimi koordinirati sistem in drugi.

V srednjeveških časih stereografski koordinirati sistem je bil uporabljen za namene navigacije. Stereografsko koordinirati sistem nadomestil sistem zemljepisne širine in dolžine. Čeprav se v navigaciji ne uporablja več, stereografski koordinirati sistem se še danes uporablja za opis kristalografskih usmeritev na področjih kristalografije, mineralogije in znanosti o materialih.

A koordinirati sistemska pretvorba je pretvorba iz enega koordinirati sistem na drugega, z obema koordinirati sistemi, ki temeljijo na enakih geodetskih podatkih. Skupne naloge pretvorbe vključujejo pretvorbo med geodetskimi in ECEF koordinatami ter pretvorbo iz ene vrste projekcije zemljevida v drugo.

Obstajata dve pogosti metodi za razširitev polarnega koordinirati sistem na tri dimenzije. V cilindrični koordinirati sistema, se z-koordinata z enakim pomenom kot v kartezičnih koordinatah doda r in θ polarnim koordinatam, kar daje trojko (r, θ, z). Sferične koordinate naredijo še korak naprej s pretvorbo para valjastih koordinat (r, z) v polarne koordinate (ρ, φ), ki da trojno (ρ, θ, φ).


Vsebina


  • 1 Zgodovina


  • 2 Geodetska referenčna točka


  • 3 Vodoravne koordinate

    • 3.1 Zemljepisna širina in dolžina

      • 3.1.1 Dolžina diplome


      • 3.2.1 UTM in UPS sistemi


      • 3.2.2 Stereografski koordinatni sistem


      • 5.1 Zemeljsko središče, Zemlje fiksno


      • 5.2 Lokalna tangentna ravnina


      • 9.1 Navedbe


      • 9.2 Viri



      • Portal Atlas

    • Decimalne stopinje
    • Geodetska referenčna točka
    • Pretvorba geografskih koordinat
    • Geografski informacijski sistem
    • Geografska razdalja
    • Linearno referenciranje
    • Projekcija zemljevida
    • Prostorski referenčni sistemi

    • GEOFIZIČNE KOORDINATNE TRANSFORMACIJE

      Prvotno objavljeno v Kozmična elektrodinamika, 2, 184-196, 1971. Vse pravice pridržane. Avtorske pravice 1971 D. Reidel, založba Dordrecht-Holland. (Prejeto 12. januarja 1971 v popravljeni obliki 26. marca 1971)

      Vsebina

      Povzetek.

      Uvod

      Veliko različnih koordinatnih sistemov se uporablja pri eksperimentalnem in teoretičnem delu o sončnih in zemeljskih odnosih. Ti koordinatni sistemi se uporabljajo za prikaz satelitskih poti, mejnih mest in meritev vektorskega polja. Potreba po več koordinatnih sistemih izhaja iz dejstva, da so pogosto različni fizikalni procesi bolj razumljivi, eksperimentalni podatki bolj urejeni ali izračuni lažje izvedeni v enem ali drugem od različnih sistemov. Pogosto je treba te sisteme preoblikovati iz enega v drugega. Prehod iz enega koordinatnega sistema v drugega je mogoče izpeljati z vidika trigonometričnih razmerij med koti, izmerjenimi v vsakem sistemu, s pomočjo formul sferične trigonometrije (Pametno, 1944), Uporaba te tehnike pa je lahko zelo zapletena in lahko povzroči precej zapletene odnose. Vendar se ta metoda včasih uporablja. Nedavni primer uporabe te tehnike za preoblikovanje iz geografskih v geomagnetne koordinate je na voljo v Medica (1970).

      Druga tehnika je iskanje zahtevanih Eulerjevih kotov vrtenja in konstruiranje pripadajočih matric vrtenja. Potem lahko te matrice rotacije pomnožimo, da dobimo eno matrico transformacije (Goldstein, 1950). Formalizem vektorske matrike ni privlačen samo zato, ker omogoča kratkoročno predstavitev transformacije, temveč tudi zato, ker omogoča, da se večkratne transformacije zlahka izvedejo z množenjem matric in inverzna transformacija je zlahka izvedena.

      Matric, potrebnih za pretvorbe koordinat, pa ni treba izpeljati iz Eulerjevih kotov vrtenja. Namen te opombe je pojasniti, kako izpeljati te koordinatne transformacije, ne da bi izpeljali zahtevane Eulerjeve kote vrtenja, pa tudi opisati najpogostejše koordinatne sisteme, ki se uporabljajo na področju sončnih zemeljskih zvez.

      Razprave o transformacijah koordinat za nekatere koordinatne sisteme, ki bodo obravnavani v tem poročilu, lahko najdete tudi v prispevkih Olson (1970) in avtor Podružnica magnetnih in električnih polj (1970) Centra za vesoljske lete Goddard. Prejšnji članek se od pričujočega dela razlikuje predvsem po zapisu in številu obdelanih sistemov. Druga razlika je v tem, da se pri Olsonovem zdravljenju kroži okoli Zemlje kot krožna. Slednji članek opisuje koordinatne sisteme in predstavlja zahtevane transformacijske matrike, vendar brez izpeljave. Ker lahko isti koordinatni sistem pri vsaki obdelavi prejme drugačno ime, so v tabeli I navedena imena in okrajšave, uporabljene v teh dveh dokumentih, in trenutno delo za te sisteme, skupne dvema ali več.

      TABELA I

      2. Splošne opombe

      Pri določanju koordinatnega sistema na splošno izberete dve količini: smer ene od osi in usmeritev drugih dveh osi v ravnini, pravokotni na to smer. Ta zadnja usmeritev je pogosto določena tako, da se zahteva, da je ena od preostalih osi pravokotna na neko smer. Srečna značilnost matric vrtenja (matrika, ki pretvori vektor iz enega sistema v drugega) je, da je inverza preprosto njegovo prenašanje. Torej, če matrika A pretvori vektor V, izmerjen v sistemu a do V, izmerjeno v sistemu b, potem je matrika, ki pretvori V v V, A. Tako lahko pišemo

      Najenostavnejši način za pridobitev matrice transformacije A je najti smeri treh novih koordinatnih osi za sistem b v starem sistemu (sistem a). Če so smerni kosinusi nove smeri X, izraženi v starem sistemu, (X, X, X), so nove smeri Y (Y, YY) in nove smeri Z (Z, Z, Z) , potem matrico rotacije tvorijo ti trije vektorji kot vrstice, tj

      (X X X) (V) = (V)
      (YY Y) (V) = (V)
      (Z Z Z) (V) = (V)
      Podobno je preoblikovanje iz sistema b v a
      (X Y Z) (V) = (V)
      (X Y Z) (V) = (V)
      (X Y Z) (V) = (V)

      Naslednje lastnosti matric vrtenja so uporabne za preverjanje napak. (1) Vsaka vrstica in stolpec je vektor enote. (2) pikasti zmnožek katere koli dveh vrstic ali poljubnih dveh stolpcev je nič. (3) Navzkrižni zmnožek katere koli dveh vrstic ali stolpcev je enak tretji vrstici ali stolpcu ali njegovemu negativu. (Vrstica 1 prečna vrstica 2 je enaka vrstici 3 vrstica 2 prečna vrstica 1 je enaka minus vrstici 3.)

      Geocentrični ekvatorialni inercialni sistem (GEI) ima svoje X-os, ki kaže od Zemlje proti prvi točki Ovna (položaj Sonca ob pomladanskem enakonočju). Ta smer je presečišče ekvatorialne ravnine Zemlje in ravnine ekliptike, zato X-os leži v obeh ravninah. The Z-os je vzporedna z vrtilno osjo Zemlje in Y. dopolni desničarski pravokotni niz (Y = Z X).

      To je sistem, ki se pogosto uporablja pri izračunu astronomije in satelitske orbite. V tem sistemu se izmerijo koti desnega vzpona in deklinacije. Če (V, V ,V) je vektor v GEI z velikostjo V, potem je njen desni vzpon,, rumen (V / V), 0 o 180 o, če V 0, 180 o 360 o, če V 0. Njegova deklinacija,, je sin V / V, -90 o 90 o.

      Geografski koordinatni sistem (GEO) je opredeljen tako, da je njegov X-os je v ekvatorialni ravnini Zemlje, vendar je fiksirana z vrtenjem Zemlje tako, da gre skozi Greenwichski poldnevnik (0 o zemljepisne dolžine). Svoje Z-os je vzporedna z vrtilno osjo Zemlje in njeno Y.-os zaključuje desničarski pravokotni niz (Y = Z X).

      Ta sistem se uporablja za določanje položajev zemeljskih opazovalnic ter oddajnih in sprejemnih postaj. Dolžina in širina v tem sistemu sta opredeljeni na enak način kot desni vzpon in deklinacija v GEI.

      Ker imajo koordinatni sistemi GEO in GEI svoje Z- skupne osi, vedeti moramo le lego prve točke v Ovnu ( X-os GEI) glede na Greenwichski poldnevnik za določitev zahtevane transformacije. Če pustimo, da je kot med Greenwichskim poldnevnikom in prvo točko Ovna, merjeno vzhodno od prve točke Ovna, na Zemljinem ekvatorju 0, potem je prva točka Ovna v (cos, -sin, 0) v geografskem sistemu in prehod iz geografskega v GEI je

      (cos-sin 0) (V) = (V)
      (sin cos 0) (V) = (V)
      (0 0 1) (V) = (V)

      in obratna transformacija je

      (cos-sin 0) (V) = (V)
      (sin cos 0) (V) = (V)
      (0 0 1) (V) = (V)

      Kot je seveda odvisen od časa dneva in letnega časa, saj se Zemlja vrti 366,25-krat na leto okoli svoje osi v inercialnem prostoru, ne pa 365,25-krat. Tako je trajanje dneva glede na vztrajnostni prostor (siderični dan) manj kot 24 ur. Kot se imenuje Greenwichov srednji siderični čas in ga je mogoče izračunati s pomočjo formul iz Dodatka 2.

      3.3. GEOMAGNETSKE KOORDINATE

      Geomagnetni koordinatni sistem (MAG) je določen tako, da je njegov Z-os je vzporedna z magnetno dipolno osjo. Geografske koordinate dipolne osi iz Mednarodnega geomagnetnega referenčnega polja 1965.0 (IGRF) so 11.435 o colatitude in 69.761 o vzhodne zemljepisne dolžine (Mead, 1970). Tako je Z-os je (0,06859, -0,18602, 0,98015) v geografskih koordinatah. The Y.-os tega sistema je pravokotna na geografske polove, tako da, če je D položaj dipola in S je južni pol Y = D S. Končno, X-ax zaključuje desničarski pravokotni niz.

      Ta sistem se pogosto uporablja za določanje položaja magnetnih opazovalnic. Prav tako je to priročen sistem za sledenje linijskih polj, če upoštevamo sedanje sisteme poleg notranjega polja Zemlje (Medica, 1970). Magnetna dolžina se meri proti vzhodu od X-os in magnetna širina se meri od ekvatorja v magnetnih meridianih, pozitivni proti severu in negativni proti jugu. Torej, če je (V, V, V) vektor v sistemu MAG z velikostjo V potem je njegova magnetna dolžina,,
      rjava (V / V), 0 o 180 o, če V 0, 180 o 360 o, če V 0 o. Njegova magnetna širina,, je sin V / V, -90 o 90 o.

      Razen v bližini polov je magnetna dolžina praviloma približno 70 o večja od geografske dolžine. Opažamo, da v tem sistemu obstaja preprosta kartezijanska predstavitev dipolnega magnetnega polja (glej Dodatek 1).

      Ta sistem je pritrjen na rotirajoči Zemlji in je tako preobrazba iz geografskega koordinatnega sistema v geomagnetni sistem stalna. Iz zgornjih opredelitev dobimo

      (0,33907, -0,91964, -0,19826) (V) = (V)
      (0,93826, 0,34594, 0) (V) = (V)
      (0,06859, 0,18602, 0,98015) (V) = (V)

      3.4. GEOCENTRIČNI SOLARNI EKLIPTIČNI SISTEM

      Geocentrični sončni ekliptični sistem (GSE) ima svoje X-os, ki kaže od Zemlje proti Soncu in njegovemu Y.-os je izbrana tako, da je v ekliptični ravnini, usmerjeni proti mraku (s čimer nasprotuje gibanju planetov). Svoje Z-os je vzporedna z ekliptičnim polom. Glede na inercijski sistem ima ta sistem letno rotacijo.

      Ta sistem je bil uporabljen za prikaz satelitskih poti, medplanetarnih opazovanj magnetnega polja in podatkov o hitrosti sončnega vetra. Sistem je koristen za slednji prikaz, saj je v tem sistemu enostavno odstraniti odstopanje sončnega vetra, ker je hitrost Zemlje v minusu približno 30 km / s Y. smer. Ker pa je edini pomemben učinek Zemljinega orbitalnega gibanja v sončnih zemeljskih odnosih povzročitev aberacije, so druge možnosti usmeritve Y. in Zosi o X-osi so bile uporabljene. O njih bomo razpravljali kasneje.

      Zemljepisna dolžina se, tako kot pri geografskem sistemu, meri v X-Y letalo od X-os proti Y.-os in zemljepisna širina je kot izven X-Y ravnina, pozitivna za pozitivno Z sestavnih delov.

      Do zdaj najpogostejša zahtevana preobrazba v sistem GSE je sistem GEI. Smer ekliptičnega pola (0, -0,398, 0,917) je v sistemu GEI konstantna. The X-os, smer Sonca, lahko dobimo v GEI iz enačb v Dodatku 2. Če je ta smer (S, S, S), potem Y.-os v GEI (Y, Y, Y) je

      in preobrazba je

      (S S S) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (0 -0,398 0,917) (V) = (V)

      3.5. GEOCENTRIČNI SOLARNI EKVATORIJSKI SISTEM

      The geocentric solar equatorial system (GSEQ) as with the GSE system has its X-axis pointing towards the Sun from the Earth. However, instead of having its Y.-axis in the ecliptic plane, the GSEQ Y.-axis is parallel to the Sun's equatorial plane which is inclined to the ecliptic. We note that since the X-axis is in the ecliptic plane and therefore is not necessarily in the Sun's equatorial plane, the Z-axis of this system will not necessarily be parallel to the Sun's axis of rotation. However, the Sun's axis of rotation must lie in the X-Z plane. The Z-axis is chosen to be in the same sense as the ecliptic pole, i.e. northwards.

      This system has been used extensively to display interplanetary magnetic field data by the Ames magnetometer group (Colburn, 1969). We note that this system is useful for ordering data controlled by the Sun and therefore is an improvement over the use of the GSE system for studying the interplanetary magnetic field and the solar wind. However, for studying the interaction of the interplanetary medium with the Earth yet a third system is more relevant.

      The rotation axis of the Sun, R, has a right ascension of -74.0 o and a declination of 63.8 o . Thus R is (0.122, -0.424, 0.899) in GEI. To transform from GEI to GSEQ, we must know the position of the Sun (S , S, S) in GEI (see Appendix 2). Then the Y.-axis in GEI (Y, Y, Y) is parallel to R S. Note that since the cross product of two unit vectors is not a unit vector unless they are perpendicular to each other, this cross product must be normalized. Finally the Z-axis in GEI (Z, Z, Z) = S Y. Then

      (S S S) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (Z Z Z) (V) = (V)

      Since both GSE and GSEQ coordinate systems have their X-axes directed towards the Sun, they differ only by a rotation about the X-os. Thus the transformation matrix from GSE to GSEQ must be of the form

      (1 0 0 ) (V) = (V)
      (0 cos -sin ) (V) = (V)
      (0 sin cos ) (V) = (V)

      If the transformations from GEI to GSE and GEI to GSEQ are both known, then the angle may be determined by examining the angle between the Y.-axes in the two systems or the Z- axes (i.e. the angle between the vectors formed by the second row of each matrix or the third row). If these transformation matrices are not available, may be calculated from the following formula

      Sin = S.(0.031, -0.112, -0.049)/ |(0.122, -0.424, 0.899)| S

      where S is the position of the Sun in GEI and can be calculated from the formulas in Appendix 2. Since the Sun's spin axis is inclined 7.25 o to the ecliptic, ranges from -7.25 o (on approximately Dec. 5) to 7.25 o (on June 5) each year. The Sun's spin axis is directed most towards the Earth on approximately Sept. 5 at which time the Earth reaches its most northerly heliographic latitude. At this time equals 0.

      3.6. GEOCENTRIC SOLAR MAGNETOSPHERIC SYSTEM

      The geocentric solar magnetospheric system (GSM), as with both the GSE and GSEQ systems, has its X-axis from the Earth to the Sun. The Y.-axis is defined to be perpendicular to the Earth's magnetic dipole so that the X-Z plane contains the dipole axis. The positive Z- axis is chosen to be in the same sense as the northern magnetic pole. The difference between the GSM system and the GSE and GSEQ is simply a rotation about the X-os.

      This system is useful for displaying magnetopause and shock boundary positions, magnetosheath and magnetotail magnetic fields and magnetosheath solar wind velocities because the orientation of the magnetic dipole axis alters the otherwise cylindrical symmetry of the solar wind flow. It also is used in models of magnetopause currents (Olson, 1969). It reduces the three dimensional motion of the Earth's dipole in GEI, GSE, etc., to motion in a plane (the X-Z plane). The angle of the north magnetic pole to the GSM Z-axis is called the dipole tilt angle and is positive when the north magnetic pole is tilted towards the Sun. In addition to a yearly period due to the motion of the Earth about the Sun, this coordinate system rocks about the solar direction with a 24 h period. We note that since the Y.-axis is perpendicular to the dipole axis, the Y.-axis is always in the magnetic equator and since it is perpendicular to the Earth-Sun-line, it is in the dawn-dusk meridian (pointing towards dusk). GSM longitude is measured in the X-Y plane from X towards Y. and latitude is the angle northward from the X-Y plane. However, another set of spherical polar angles is sometimes used. Here the angle, between the vector and the X-axis, called the Sun-Earth probe angle (SEP) or the Sun-Earth-satellite angle (SES) is the polar angle and the angle of the projected vector in the Y-Z plane is the azimuthal angle. It is measured from the positive Y.-axis towards the positive Z-os.

      To transform from GEI to GSM we need to know both the position of the Sun in GEI and the position of the Earth's dipole axis. The position of the Sun S (S, S, S) can be obtained from Appendix 2. The position of the dipole D must be obtained by transforming from geographic coordinates (see Section 2). In geographic coordinates, the dipole is at 11.435 o colatitude and 69 .761 o east longitude (IGRF epoch 1965.0). Thus, D in geographic coordinates is (0.06859 -0.18602,0.98015). If D' is D transformed into GEI, the Y.-axis is

      We note that the normalizing factor occurs because D' and S are not necessarily perpendicular. Finally, Z is S Y and the transformation becomes

      (S S S ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (Z Z Z ) (V) = (V)

      The transformation matrix between GSM and GSE or GSEQ is of the form

      (1 0 0 )
      (0 cos -sin )
      (0 sin cos )

      However, since changes both with time of day and time of year, it is not derivable from a simple equation. However, if the transformation matrix from GEI to GSE, A and from GEI to GSM, A are both known, then the transformation from GSM to GSE is simple A, A where A is the transpose of A. An analogous formula holds for the transformation from GSM to GSEQ. We note that the amplitude of the diurnal variation of is 11.4 o which is added to an annual variation of 23.5 o .

      3.7. SOLAR MAGNETIC COORDINATES

      In solar magnetic coordinates (SM) the Z-axis is chosen parallel to the north magnetic pole and the Y.-axis perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. The difference between this system and the GSM system is a rotation about the Y.-os. The amount of rotation is simply the dipole tilt angle as defined in the previous section. We note that in this system the X-axis does not point directly at the Sun. As with the GSM system, the SM system rotates with both a yearly and daily period with respect to inertial coordinates.

      The solar magnetic system is useful for ordering data controlled more strongly by the Earth's dipole field than by the solar wind. It has been used for magnetopause cross sections and magnetospheric magnetic fields. We note that since the dipole axis and the Z-axis of this system are parallel the cartesian components of the dipole magnetic field are particularly simple in this system (see Appendix 1).

      As for GSM, the transformation from GEI to SM requires a knowledge of the Earth Sun direction S, and the dipole direction D in GEI. Having obtained these as in Section 3.6, we find Y=(D S)/ ( D S ) and X=Y D. Then the transformation becomes

      (X X X ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (D D D) (V) = (V)

      The transformation from GSM to SM is simply a rotation about the Y.-axis by the dipole tilt angle . Tako

      (cos 0 -sin ) (V) = (V)
      ( 0 1 0 ) (V) = (V)
      (sin 0 cos ) (V ) = (V)

      3.8. DIPOLE MERIDIAN SYSTEM

      As with the solar magnetic system, the Z-axis of the dipole meridian system (DM) is chosen along the north magnetic dipole axis. However, the Y.-axis is chosen to be perpendicular to a radius vector to the point of observation rather than the Sun. The positive Y. direction is chosen to be eastwards, so that the X-axis is directed outwards from the dipole. This is a local coordinate system, in that it varies with position, however, since the X-Z plane contains the dipole magnetic field it is quite useful.

      It is used to order data controlled by the dipole magnetic field where the influence of the solar wind interaction with the magnetosphere is weak. It has been used extensively to describe the distortions of the magnetospheric field in terms of the two angles declination and inclination which can be easily derived from measurements in this system (Mead and Cahill, 1967). The inclination, jaz, is simply the angle that the field makes with the radius vector minus 90. Thus, if R is the unit vector from the center of the Earth to the point of observation in the DM system (we note that in this system Ry=0), and b is the direction of the magnetic field in the DM system, then jaz= cos (R b +R b) -90 o . The declination, D, is measured about the radius vector with D=0 in the X-Z plane and positive D angles for positive b. Thus D=tan [b/(R b+R b)], 0 o D 180 o for 0 b 1 and 0 o D 180 o for 0 b -1. As in the SM system, the cartesian components of the dipole field can be expressed very simply in this system. In particular, B = 0 by definition.

      To transform from any system to the dipole meridian system we must know the dipole axis, D, in this system, and the unit position vector of the point of observation relative to the center of the Earth. Since Y. is perpendicular to R in D potem Y. = (D R)/( D R ) and X=D Y. Thus

      (X X X ) (V) = (V)
      (Y Y Y) (V) = (V)
      (D D D) (V ) = (V)

      We note that this transformation usually is particularly straight forward from geographic coordinates because the geographic latitude and longitude of a point of observation is often known and the dipole is fixed in geographic coordinates. From geomagnetic coordinates it is simple rotation about the Z-axis by the magnetic longitude. From solar magnetic co-ordinates, it is a rotation about the Z-axis by the angle between the projections of the Sun and the local radius vector in the magnetic equator.

      3.9. ATS-1 COORDINATE SYSTEMS

      Two coordinate systems have been used extensively in the analysis of the magnetometer data from the ATS-1 satellite which differ slightly from previously described coordinate systems. The ATS XYZ system is the coordinate system in which the ATS magnetometer data are originally obtained. The Z-axis is parallel to the Earth's rotation axis. Thus, it is parallel to the Z-axis of the geographic, and GEI systems. However, the Y.-axis is chosen perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. The X-axis completes a right handed orthogonal set. Thus the X-Y plane is the Earth's rotational equator with X in the noon meridian.

      The other ATS coordinate system is ATS VDH. In this system H is chosen parallel to the Earth's spin axis. V is the local vertical. Since ATS-1 is in the Earth's equatorial plane, V is perpendicular to H. Finally, D, completes the right-handed set (D = H V) and is azimuthal, eastwards in the equatorial plane. The transformation between the ATS XYZ and ATS VDH systems is

      ( cos sin 0) (B) = (B)
      (-sin cos 0) (B) = (B)
      ( 0 0 1) (B) = (B)

      3.10 OTHER COORDINATE SYSTEMS

      All the coordinate systems described so far have been geocentric and, with the exception of the dipole meridian system and the ATS VDH system, have been independent of the position of the point of observation. When considering measurements far from the Earth, it is often useful to choose coordinate systems which are dependent on the position of the observation point rather than the position of the Earth. For example, Coleman et al. (1969) use a system analogous to the GSEQ system but with the Mariner 4 - Sun line as the X-os. We note, however, they have chosen their three axes anti-parallel to the axes of the analogous GSEQ system and thus their right-handed triad of coordinates is a noncyclic permutation of these three antiparallel vectors. For studying solar-planetary interactions, the required modifications to alter the transformations given in the previous sections to those relevant to the problem being considered should be obvious.

      However, there is another class of cartesian coordinate systems that can be used: those based on a local measurement. For example, one may wish to define a coordinate system in which the solar wind flow is parallel to one of the coordinate axes. This could be done in coordinate systems such as GSE, GSEQ and GSM by replacing the position of the Sun by the vector antiparallel to the observed solar wind flow. The second condition for choosing the coordinate system would be that the Y.-axis is perpendicular to the solar wind and the ecliptic pole (for GSE) and the Sun's rotation axis (for GSEQ) and the Earth's dipole (for GSM). However, we note that in GSE, the Z-axis will no longer necessarily be parallel to the ecliptic pole since the solar wind flow need not be in the ecliptic plane.

      Another way of choosing the system is to choose one axis along the measured magnetic field. As before, we are now left with the choice of the orientation of the other two axes about this one. In the solar wind it is often useful to choose one of these two axes perpendicular to the plane defined by the magnetic field and the solar wind flow velocity. In the magnetosphere, it is convenient to choose one of these two axes to be perpendicular to a dipole magnetic meridian.

      Finally, since it is much easier to visualize data and spacecraft trajectories in two dimensions rather than three, mention should be made of a two dimensional coordinate system in common use. Since the solar wind, neglecting the magnetic field is approximately cylindrically symmetric about the radial direction from the Sun, if it interacts with a figure of revolution about the Earth-Sun line such as a planet, the interaction should be the same in every plane containing the planet-Sun line. In other words, while the interaction may be a function of radial distance and the angle away from the planet-Sun line (SES or SEP angle in the case of the Earth), it is not a function of the azimuthal angle around the planet Sun line. The Earth's magnetosphere is not cylindrically symmetric about the solar wind flow. However, in the dawn-dusk plane the calculated magnetopause position should deviate less than about 20% from cylindrical (Olson, 1969). Thus, it is not unreasonable at times to assume cylindrical symmetry for the interaction.

      This coordinate system may be thought of in several ways. (1) It is a cylindrical coordinate system with the variables r, , X kje r is the distance from the axis of the cylinder, X is the distance along the axis, and is the angle around the axis. In plotting a spacecraft trajectory in this system, we would plot r vs X. (2) It is a polar coordinate system where we plot the magnitude of the vector versus the angle between the vector and the planet-Sun line. (3) It is a two dimensional cartesian coordinate system where we plot the component along the planet-Sun line versus the square root of the sum of the squares of the other two components. This system has been used to describe the trajectory of spacecraft near encounters with other planets and to plot the positions of magnetopause and bow shock crossings by Earth orbiting spacecraft.

      Appendix 1. The Cartesian Representation of a Dipole Magnetic Field

      The usual representation of a dipole magnetic field is one which separates the field into a radial and tangential component. This gives the magnetic field in a local two dimensional coordinate system. However, a very simple representation of the field exists in a cartesian coordinate system also (Alfven and Falthammar, 1963). If (X, Y, Z) is the location of the point of observation in solar magnetic coordinates, the field due to the Earth's dipole is

      B = 3XZ (B/R)
      B = 3YZ (B/R)
      B = (3Z - R) (B/R)

      where R = X + Y +Z and B is the magnetic moment of the Earth. B is numerically equal to the field at the equator on the surface of the Earth if distances are measured in Earth radii.

      We note that the same formula is valid for any coordinate system which is a rotation about the dipole from the solar magnetic coordinate system. In particular, it is valid for the dipole meridian system in which case B =0. With the knowledge of the dipole tilt angle the above representation also allows a simple derivation of the dipole field in GSM coordinates (cf. Section 7).

      Appendix 2. The Calculation of the Position of the Sun

      G.D. Mead (private communication) has written a simple subroutine to calculate the position of the Sun in GEI coordinates. It is accurate for years 1901 through 2099, to within 0.006 deg. The input is the year, day of year and seconds of the day in UT. The output is Greenwich Mean Sideral Time in degrees, the ecliptic longitude, apparent right ascension and declination of the Sun in degrees. The listing of this program follows. We note that the cartesian coordinates of the vector from the Earth to the Sun are:

      Acknowledgements

      I am indebted to G. D. Mead for allowing the inclusion of his subroutine for the determination of the position of the Sun. I also wish to acknowledge many useful discussions of coordinate transformations with P. J. Coleman, Jr., D. S. Colburn, M. G. McLeod, G. D. Mead, W. P. Olson and R. L. Rosenberg. This work was carried out in support of the data reduction program of the UCLA OGO5 flux gate magnetometer and was supported by the National Aeronautics and Space Administration under NASA contract NAS 59098.

      References

      Colburn, D. S.: 1969, 'Description of Ames Magnetometer Data from Explorer 33 and 35 Deposited in the Data Bank', NASA/Ames Research Center Report.

      Coleman, P. J., Jr., Smith, E. J., Davis, L., Jr., and Jones, D. E.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (11), 26.

      Goldstein, H.: 1950, Classical Mechanics, Addison Wesley Publ. Co., Inc., Reading Massachusetts.

      Magnetic and Electric Fields Branch: 1970, `Coordinate Transformations Used in OGO Satellite Data Analysis', Goddard Space Flight Center Report, X-645-70-29.

      Mead, G. D.: 1970, J. Geophys. Res. 75, 4372.

      Mead, G. D. and Cahill, L. J.: 1967, J. Geophys. Res., 72 (11), 2737.

      Olson, W. P.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (24), 5642.

      Olson, W. P.: 1970, `Coordinate Transformations Used in Magnetospheric Physics', McDonnell Douglas Astronautics Company Paper WD1145.

      Smart, W. M.: 1944, Text-Book on Spherical Astronomy, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge.


      EA4EOZ, an amateur radio electronic enthusiast

      One of the most unexpectedly complicated things I have found during my research into determining the orbit of a meteor using Doppler measurements is the conversion between geographical coordinates and rectangular, or Cartesian coordinates, also called ECEF (Earth Centered Earth Fixed) coordinates:

      At first sight it seems easy: The earth is a sphere, so it only need a few sines and cosines. But later, when you need more precision, you discover earth is not a sphere, it is an ellipsoid, so things start to become problematic.
      Later, you discover the ellipsoid you are using is not the ellipsoid used by the rest of the world. Most of the world uses WGS 84 (including GPS) and your coordinates are GPS based, so you need to use the right formulas to do the conversion.

      There is a lot of literature on Internet about this, but as soon you start to read you discover a big problem. Conversion from longitude, latitude and altitude is easy and straightforward, for example in Octave code:

      Note: I wrote the functions in Octave/Matlab code without advanced functions to make the task of porting to other languages easy. For example, many sqrt instructions can be written in a more clear way using Octave's norm function.

      Surprisingly, WGS 84 has no inverse model: you can calculate Cartesian coordinates easily from WGS 84 latitude, longitude and altitude. But going from Cartesian coordinates to WGS 84 latitude, longitude and altitude is very tricky.

      There are two methods to make the conversion. The first one involves making iterations, so conversion precision is function of the number of iterations and convergence criteria. I want a simple and fast conversion, so I discarded this option.

      The other method is a simple algorithm:

      Well, I just said there is no inverse model, and now I show you a simple algorithm to make the conversion. What is the catch? The catch is this algorithm only works for points situated at altitude = 0, or really close to 0. If you play with it, you will find out it works fine finding latitude and longitude, but fails with altitude.

      • Get longitude, latitude and altitude with xyz2lla using desired x, y, z values.
      • Discard altitude and get ground coordinates of calculated latitude and longitude using lla2xyz(lon,lat,0)
      • Call this new ground Cartesian coordinates gx, gy, gz
      • Get the module of vectors [x y z] and [gx gy gz].
      • Altitude is the distance between points x,y,z and gx,gy,gz. Subtract length of vector [gx gy gz] to length of vector [x y z] to get altitude.

      In Octave code can be implemented in this way:

      To test this function, I wrote this small Octave script to create 100000 conversions. It generates points at random latitude, longitude and altitude, converts them to X-Y-Z values, and then, it uses the X-Y-Z values to calculate latitude, longitude and altitude using my modified xyz2lla function.. At the end, a small report is presented:

      And the output of this little script in my system is:

      As you can see, the RMS error in altitude is a little bit under 1.6 meters, not bad for such simple function.