Astronomija

Kako so lahko točke Zemlje-Sonce Lagrange L1 in L2 glede na luno celo pol stabilne?

Kako so lahko točke Zemlje-Sonce Lagrange L1 in L2 glede na luno celo pol stabilne?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Vem, da točke Zemlje-Sonce Lagrange L1, L2 in L3 v daljšem obdobju ne veljajo za stabilne, zlasti v primerjavi z L4 in L5 ... Toda, ko luna kroži okoli Zemlje na splošni poti ekliptike, se zdi da bi prvič, ko bi luna prišla med Zemljo in objektom na točkah L1 ali L2, zadostovalo, da bi predmet dobro zmotil, naslednji lunin mesec pa bi bil še slabši itd.

Zdi se, da bi bile točke L1 in L2, če bi bile izločene iz enačbe, veliko bolj stabilne. Kot rezultat takšnega razmišljanja bi mislil, da bi bila točka L3 veliko bolj stabilna kot L1 in L2, saj bi bila Luna toliko bolj oddaljena in nepomembna, zato bi lahko njen učinek prezrli.

Ali se motim, ko razmišljam o tem? Ali lunin vpliv ni dovolj velik, da bi bil glavni dejavnik? In samo za pojasnitev, govorim posebej o L1 in L2 glede velikega 3. telesa, kot je Luna, namesto nekega idealiziranega sistema samo z dvema telesoma.


Problem rešen (no, delno). Projekt na colorado.edu gre v grozljive podrobnosti in se konča z zaključkom,

Lagrangeove točke so značilnost problema treh teles, saj so ravnotežne točke iz enačb gibanja CRTBP. Kolinearne točke veljajo za nestabilne in vsakršna motnja na točni lokaciji bo eksponentno povzročila odmik. Kot take je treba upoštevati motnje četrtega telesa. Morali bi biti še posebej previdni, ker je sistem Sonce-Zemlja-Luna en tak primer. Začetni pogled na učinek Lune na točki L1 in L2 Zemlja-Sonce kaže malo zaskrbljenosti. Masno razmerje se spremeni le za 1% in celo v prvotnem primeru Sonce popolnoma preseže druga telesa. Položaja L1 in L2 se spremenita za nekaj tisoč kilometrov, kar je malo v primerjavi s približno 1,5 milijona km oddaljenosti od Zemlje. Pogled na posamezne komponente pospeševanja ni pomagal. Luna je približno 2% pospeška Zemlje v najboljšem primeru (najbližje) in 3/4% v najslabšem. Sestavljam vse rezultate in zaključim, da ima Luna približno 1% učinka, ki ga ima Zemlja na te Lagrangeove točke. To se zdi majhno, vendar sčasoma to lahko poveča stroške vzdrževanja postaj. Poleg tega občutljiva oprema, kot je vesoljski teleskop James Webb, zahteva enakomerne orbite, vedenje o motenosti pa bo pomagalo, da bo stabilna. Če povzamemo, Luna nima velikega učinka, vendar je treba upoštevati časovni vidik. Nadaljnje delo bi moralo vključevati problem štirih teles, da bi v celoti razumeli spremembe teh ravnotežnih točk.


Točke L1, L2, L3 so ni stabilna. (pika) Majhna odstopanja eksponentno rastejo, tudi pri popolnoma krožno omejenem problemu treh teles. V resnici imamo nekrožni problem več teles, ko (1) te točke niso natančno natančno opredeljene in (2) je treba upoštevati odstopanja od preprostega primera, da dobimo natančne poti (in ohranimo vse umetni sateliti v bližini teh točk).

Točki L1 in L2 sta privlačni za vesoljske misije ravno zato, ker sta nestabilni, saj to preprečuje kopičenje ruševin (naravnih in umetnih) in s tem zmanjšuje verjetnost trkov.


Lagrangeove točke

Lagrangeove točke so poimenovane v počastitev italijansko-francoskega matematika Josepha-Louisa Lagrangea. Obstaja pet posebnih točk, kjer lahko majhna masa kroži v konstantnem vzorcu z dvema večjima masama. Lagrangeove točke so položaji, kjer je gravitacijski vlek dveh velikih mas natančno enak centripetalni sili, ki je potrebna, da se majhen predmet premika z njimi. Ta matematični problem, znan kot "splošni problem treh teles", je Lagrange obravnaval v svojem nagrajenem prispevku (Essai sur le Probl me des Trois Corps, 1772).

Od petih točk Lagrangea so tri nestabilne, dve pa stabilni. Nestabilne Lagrangeove točke - označene z L1, L2 in L3 - ležijo vzdolž črte, ki povezuje obe veliki masi. Stabilne Lagrangeove točke - označene z L4 in L5 - tvorijo vrh dveh enakostraničnih trikotnikov, ki imajo velike mase na svojih točkah. L4 vodi zemeljsko orbito, L5 pa sledi.


Lagrangeove točke sistema Zemlja-Sonce (ni narisano v merilu!).

Točka L1 sistema Zemlja-Sonce omogoča neprekinjen pogled na sonce in je trenutno dom satelita SOHO za sončni in heliosferski observatorij. Točka L2 sistema Zemlja-sonce je bila dom vesoljskega plovila WMAP, sedanjega doma Planck in prihodnjega doma vesoljskega teleskopa James Webb. L2 je idealen za astronomijo, ker je vesoljsko plovilo dovolj blizu, da lahko zlahka komunicira z Zemljo, lahko zadrži sonce, Zemljo in Luno za vesoljskim plovilom za sončno energijo in (z ustreznim zaščitnim oknom) našim teleskopom omogoča jasen pogled na globoki prostor. Točki L1 in L2 sta nestabilni na časovni lestvici približno 23 dni, kar zahteva, da sateliti, ki krožijo okoli teh položajev, redno popravljajo smer in položaj.

NASA verjetno ne bo našla nobene koristi za točko L3, saj je ves čas skrita za Soncem. Zamisel o skritem & quotPlanet-X & quot na točki L3 je bila priljubljena tema pisanja znanstvene fantastike. Nestabilnost orbite Planeta X (v časovnem merilu 150 let) ni ustavila Hollywooda, da ni izstopil iz klasike, kot je The Man from Planet X.

Točki L4 in L5 sta dom stabilnih orbit, če masno razmerje med obema masama presega 24,96. Ta pogoj je izpolnjen tako za sisteme Zemlja-Sonce in Zemlja-Luna kot tudi za številne druge pare teles v sončnem sistemu. Predmete, ki krožijo v točkah L4 in L5, pogosto imenujejo trojanci po treh velikih asteroidih Agamemnon, Achilles in Hector, ki krožijo v točkah L4 in L5 sistema Jupiter-Sonce. (Po Homerju je bil Hector trojanski prvak, ki ga je Ahile pobil med obleganjem Troje kralja Agamemnona). V osončju je na stotine trojanskih asteroidov. Večina kroži z Jupitrom, drugi pa z Marsom. Poleg tega ima več Saturnovih lun trojanskih spremljevalcev. Leta 1956 je poljski astronom Kordylewski odkril velike koncentracije prahu na trojanskih točkah sistema Zemlja-Luna. Instrument DIRBE na satelitu COBE je potrdil prejšnja opazovanja IRAS prašnega obroča po Zemljini orbiti okoli Sonca. Obstoj tega obroča je tesno povezan s trojanskimi točkami, vendar je zgodba zapletena zaradi učinkov sevalnega pritiska na prašna zrna. Leta 2010 je Nasin teleskop WISE dokončno potrdil prvi trojanski asteroid (2010 TK7) okoli vodilne zemeljske točke Lagrange.

Iskanje Lagrangeovih točk

Lagrangeove točke najlažje razumemo tako, da sprejmemo referenčni okvir, ki se vrti skupaj s sistemom. Sile, ki delujejo na telo, ki miruje v tem okviru, je mogoče izpeljati iz učinkovitega potenciala na približno enak način, kot je mogoče iz vremenske karte razbrati hitrost vetra. Sile so najmočnejše, kadar so konture učinkovitega potenciala najbližje skupaj in najšibkejše, kadar so konture daleč narazen.


Shema konture efektivnega potenciala (ni narisana v merilu!).


Lagrangeove točke Zemeljski sistem lune

NASA opredeljuje ta območja kot mesta, kjer lahko majhno telo & # 8211, kot je vesoljsko plovilo & # 8211, ostane v konstantni orbiti med dvema zelo velikima masama, kot sta dva planeta ali planet in velika luna.

Ko stojite nad Zemljo in se ogledujete, je pet točk zelo enostavno najti. L1 je neposredno pred Zemljo, med Zemljo in Soncem. Ekstrapolira se po isti črti, L2 je za Zemljo in L3 za Soncem.

Te tri lokacije je prvič izračunal Leonhard Euler okoli 1770-ih, toda, kot že ime pove, so bile točke Lagrange dejansko poimenovane po francosko-italijanskem matematiku Josephu Lagrangeu.

Nekaj ​​let po Eulerju je Lagrange našel še dve stabilni lokaciji & # 8211, znani kot L4 in L5 & # 8211, na mestih, ki sta približno 60 stopinj od Zemlje in Sonca.

Države, ki se ukvarjajo z vesoljem, so že poslale več teleskopov na točke Lagrange blizu Zemlje, ker so daleč od motenj Zemljine atmosfere in toplote. Le L4 in L5 sta stabilni lokaciji, toda z malo dodatnega goriva lahko teleskop že leta z veseljem sedi na kateri koli točki Lagrangea.

Nekateri najbolj znani prebivalci Lagrangea vključujejo Sončni in heliosferski observatorij (SOHO) & # 8211, ki pazi na Sonce na L1 & # 8211, in vesoljski teleskop James Webb, ki se bo na L2 spustil okoli leta 2018.

NASA je dejala, da v resnici nima točke L3 Lagrange blizu Zemlje, čeprav je bila v zadnjih letih vir nekaterih znanstvenih ugibanj. & # 8220Vslej ostaja skrita za Soncem, & # 8221 je NASA zapisala na svoji spletni strani, a dodala sklicevanje na to, kaj bi se tam lahko skrivalo. & # 8220 Ideja o skritem & # 8216Planet-X & # 8217 na točki L3 je bila priljubljena tema pisanja znanstvene fantastike. Nestabilnost orbite Planet X & # 8217s (v časovnem merilu 150 let) Hollywoodu ni preprečila, da bi se izkazal za klasike, kot je The Man From Planet X & # 8221, je zapisala agencija.

Medtem ko najpogosteje pomislimo na pet Lagrangeovih točk, ki se nahajajo okoli Zemlje, so te točke možne med katerimi koli nebesnimi telesi, ki so dovolj masivna. Jupiter ima na primer asteroide na točkah L4 in L5 s Soncem. Ti se imenujejo trojanski asteroidi.

Nemški astronom Max Wolf je prvega od teh asteroidov opazil leta 1906. Več kot 100 let kasneje, leta 2012, je NASA & # 8217s Wide-field Infrared Survey Explorer razkril, da so ta telesa večinoma bordo barve in odbijajo malo sončne svetlobe.


"James Webb dejansko ne bo obkrožil Zemlje - namesto tega bo sedel na točki L2 Lagrange Zemlja-Sonce, oddaljeni 1,5 milijona km" - Kaj to pomeni?

Brala sem o teleskopu James Webb in se trudila, da bi se ovila okoli glave, kaj pomeni "sedenje na točki Lagrange".

Ali to pomeni, da bo krožil okoli Sonca po skoraj isti poti kot Zemlja, vendar bo z vidika Zemlje ostal na istem mestu?

Teleskop James Webb ne bo krožil okoli zemlje, temveč bo obkrožil sonce.

Predstavljajte si, kako narišete ravno črto od sonca do zemlje in jo nato podaljšate za 1,5 milijona kilometrov. To je točka L2 Lagrange.

Tako kot zemlja kroži okoli sonca v ≈ 365 dneh, bo teleskop James Webb tudi okoli sonca v ≈365 dneh.

To pomeni, da bo na točki L2 Lagrange zemlja vedno med teleskopom in soncem. In razdalja med zemljo in teleskopom bo ostala nespremenjena, tako da bo vedno ob nas

Wikipedia ima lep gif diagram, ki to vizualno razloži:

Upam, da je to odgovorilo na vaše vprašanje :)

To je odgovor, ki sem ga želel, hvala!

namesto tega bo krožil okoli sonca.

Ne čisto. Točke L1 / L2 Zemlja-Sonce so (za vse praktične namene), kjer ne prevladujejo niti gravitacija Zemlje niti Sonca. Tj., Ki se nahaja na robu Zemlje & # x27s Hill Sphere. Če bi bil satelit bližje Zemlji, bi krožil okoli Zemlje, če pa bi bil še dlje, bi krožil okoli Sonca. Pri L1 / L2 ne kroži niti ne, temveč potuje okoli Lagrangeove točke v polstabilni orbiti.

Ali ni tako, kot da bi rekel, da luna ne kroži okoli Zemlje, dejansko kroži okoli sonca?

Točka L2 Lagrange je nekaj, kar lahko dejansko obkrožite, ne parkirate samo na sredini - mislite na L2 kot na majhen neviden asteroid. Ker okoli ni nobene dejanske snovi, ki bi krožila okoli, L2 pa je v bistvu konvergenca vštetih matematičnih enačb, jo bodo stvari, kot sta Venera in Mar, vedno rahlo vlekle v različne smeri, zaradi česar ni nikoli stabilna.

Zato morate gorivo porabiti za vzdrževanje manevrov, ko se sčasoma počasi izpuščate iz orbite.

Wikipedia ima dober članek o Lagrange Points s sklici na slike.

Kratka različica je, da orbitalna dinamika ni tako razrezana in suha, kot da je "quororbiting the Sonce" in da se razlikuje od "quororbiting the Earth", ki sedi na Lagrangeovi točki, približno na polovici poti med njimi.

Ali to pomeni, da bo krožil okoli Sonca po skoraj isti poti kot Zemlja, vendar bo z vidika Zemlje ostal na istem mestu?

Točka L2 je na črti Sonce-Zemlja. Torej z vidika Zemlje & # x27s ni mirujoč, ampak traja 1 leto, da obide Zemljo.

JWST dejansko ne bo natančen na točki L2, ampak bo krožil okoli L2 s šestmesečnim obdobjem. L2 je oddaljen 1500 mm od zemlje, orbita JWST & # x27s pa ima približno 800 mm polmera, zato se bo zdelo, da se precej premika naprej in nazaj.

Se torej Lagrangeove točke spreminjajo, ko se Zemlja giblje okoli Sonca?

JWST dejansko ne bo natančen na točki L2, ampak bo krožil okoli L2 s šestmesečnim obdobjem.

Zakaj ni mogoče, da ostanemo v mirujoči točki?

Dobili ste dobre odgovore, vendar bi rad razložil, zakaj točka L2 obstaja.

Ko ste v orbiti okoli telesa, je vsaka orbitalna razdalja vezana na orbitalno obdobje. Za razlago si oglejmo Sonce in planete, ki krožijo okoli njega. Zemlja kroži okoli Sonca vsakih 365,25 dni. Toda vsak predmet, ki bo v istem obdobju od Sonca oddaljen enako kot Zemlja, bo krožil. Ne morete biti na lokaciji Zemlje in krožiti hitreje ali počasneje. In bližje kot ste Soncu, hitreje krožite v orbiti. Zato Merkur kroži okoli Sonca v 88 dneh, medtem ko Jupiter za to potrebuje 12 let.

Če bi bilo Sonce bolj masivno, bi se vsa ta orbitalna obdobja pospešila. Torej, Zemlja bi krožila okoli Sonca v manj kot 365 dneh, vendar bi veljala ista pravila, Merkur bi moral krožiti najhitreje, Neptun pa najpočasneje.

Torej, kako je lahko James Webb oddaljen od Zemlje in še vedno kroži okoli Sonca vsakih 365,25 dni? Ali ni v nasprotju s tem, kar sem pravkar rekel? To je zato, ker je točka L2 neposredno v liniji s Soncem in Zemljo, zato je gravitacija z Zemlje & qutadcited & quot; gravitaciji s Sonca. Masa Zemlje se v bistvu dodaja Soncu. Kot sem omenil zgoraj, če bi bilo Sonce bolj masivno, bi se orbite zgodile hitreje, ali v tem primeru ste lahko bolj oddaljeni in še vedno krožite z enako hitrostjo kot Zemlja (zdaj je pomembno opozoriti, da je James Webb potuje hitreje kot Zemlja, ker v enakem času pometa večji krog).


L1
Bližje kot je objekt Soncu, hitreje se bo premikal. Torej, vsako vesoljsko plovilo, ki se vrti okoli Sonca v orbiti, ki je manjša od Zemljine, bo kmalu prehitelo naš planet. Vendar obstaja vrzel: če je vesoljsko plovilo postavljeno neposredno med Sonce in Zemljo, ga zemeljska gravitacija potegne v nasprotno smer in prekliče del sončnega vleka. S šibkejšim vlekom proti Soncu vesoljsko plovilo potrebuje manj hitrosti, da ohrani svojo orbito, zato se lahko upočasni. Če je razdalja ravno pravšnja - približno stotinka razdalje do Sonca - bo vesoljsko plovilo potovalo dovolj počasi, da bo ohranilo svoj položaj med Soncem in Zemljo. To je L1 in je dober položaj za spremljanje Sonca, saj stalni tok delcev Sonca, sončni veter, doseže L1 približno eno uro pred dosegom Zemlje. SOHO, tam je nameščen sončni čuvaj ESA / NASA.

Učinek, podoben tistemu, ki povzroča L1, se pojavi tudi na "nočni" strani Zemlje onkraj Zemljine orbite. Vesoljsko plovilo, ki je tam nameščeno, je bolj oddaljeno od Sonca in bi zato moralo krožiti počasneje od Zemlje, vendar dodaten vlek našega planeta prispeva k sončnemu in omogoča, da se vesoljsko plovilo premika hitreje, v koraku z Zemljo. L2 se nahaja 1,5 milijona kilometrov neposredno 'za' Zemljo, gledano s Sonca.

L2 je odličen kraj za opazovanje večjega vesolja. Vesoljskemu plovilu tukaj ni treba krožiti okoli Zemlje, zato je prihranjeno pometanju in izstopanju iz sence našega planeta, segrevanju in ohlajanju ter izkrivljanju njegovega pogleda. ESA ima številne misije, ki trenutno uporabljajo ali bodo uporabljale to regijo: Herschel, Planck, Gaia in vesoljski teleskop James Webb.

L3 leži za Soncem, nasproti Zemlje, tik za orbito našega planeta. Predmetov v L3 ni mogoče videti z Zemlje. Ponuja možnost opazovanja oddaljene strani Sonca.

Vesoljsko plovilo na L1, L2 ali L3 je "metastabilno", kot žoga, ki sedi na vrhu hriba. Malo potisnite ali naletite in začne se odmikati, zato mora vesoljsko plovilo pogosto uporabljati rakete, da ostane v tako imenovanih "halo orbitah" okoli Lagrangijeve točke.


3 odgovori 3

Če želimo dodati še druge odgovore, so točke L1-L2 Lagrange nestabilne, ker morajo med kroženjem med seboj slediti radialni hitrosti obeh matičnih teles, v našem primeru Zemlje v heliocentrični orbiti okoli Sonca, vendar nobena od njih ni v resnici na nadmorski višini, ki ustreza njihovi radialni hitrosti (prepočasi v L1 in prehitro v L2). Ker zemeljska orbita ni ravno krožna (orbitalna ekscentričnost

0,017), se bo tudi njihova nadmorska višina v enem orbitalnem obdobju nekoliko spremenila. To je manj primera pri L4-L5 in verjetno tudi L3, odvisno od orbitalne ekscentričnosti starševskih teles, in tu lahko najdemo družino asteroidov Trojan in Hilda. Vse te Lagrangeove točke lahko moti tudi gravitacijski vpliv drugih nebes v sistemu, na primer Jupitrove in celo Lunine orbite v primeru točk L1-L2 Sonce-Zemlja. In tu gre seveda za nestabilnosti v vektorju hitrosti vzdolž matičnega telesa M1. Pravokotno nanjo in proti telesoma M1 in M2 je le prelomna točka v smeri proti M1 ali M2.

Nekoliko poenostavljeno, o čemer govorim, je, da bo heliocentrična hitrost (z uporabo $ v_o približno <2 pi a nad T> $) $ text približno 29,49 besedilo $ in $ besedilo približno 30,08 besedilo $, kjer je Zemljina orbitalna hitrost $ v_o približno 29,78 besedilo $. To razliko bodo ohranile sedalne točke L1-L3, ki ne bodo preveč drugačne kot deskanje na konici vala. Vsako bočno gibanje bo vaše ravnotežje preusmerilo proti enemu od obeh nadrejenih teles (M1 ali M2).

Torej je treba upravljati satelitske orbite Lagrangeove točke, kar se običajno imenuje orbitalno vzdrževanje postaj. Učinke teh motenj in nestabilnosti je mogoče nekoliko izravnati z namestitvijo Lagrangeovih točkovnih satelitov v Halo ali Lissajousove orbite in z uporabo natančnega orbitalnega vstavljanja, vendar niti ti ne bodo stabilni brez uporabe vgrajenih potisnih plinov in popravkov njihovih orbit. Morebitni orbitalni ostanki ali celotni neaktivni sateliti se bodo sčasoma zavili proti Zemlji (glej posodobitev tega odgovora, vendar imajo preveč orbitalnega zagona, da bi zares padli proti Soncu, saj se njihovo orbitalno obdobje dejansko ujema z Zemljinim, toda polkrožnim os proti Soncu ni približno ± 1,5 milijona kilometrov ali približno ± 1%).

TLDR: Vse to pomeni, da bi bili točki L1 in L2 v bistvu brez dolgotrajnih orbitalnih ostankov. In z L3-L5, razen če telesa tam nastanejo iz istega protoplanetarnega diska in si delijo enako radialno hitrost, ki je potrebna, da ostanejo na tej nadmorski višini, skoraj ni možnosti, da bi na teh točkah zajeli katero koli drugo telo z bistveno drugačno orbitalno energijo. Če pa bi tja namerno postavili satelite, bi morebitni ostanki z njih ostali tam veliko dlje kot s točkama L1 in L2 (in morda L3, kot smo že omenili).

Uredi: Očitno sem prvotno napačno prebral vprašanje in sem odgovarjal za lagrange točke Sonce-Zemlja namesto za Zemljo-Luno. OK, brez problema, večina težav v teoriji ostaja enaka, le sedla L1-L3 so še bolj nestabilna. Lunina orbitalna ekscentričnost je

0,055, zato se točke L1-L3 premikajo še bolj vzdolž osi Zemlja-Luna. V povprečju je EML1 od Zemlje oddaljen 326.380 km, od Lune pa 58.019 km, EML2 448.914 km oziroma 64.515 km, njihove hitrosti pa bi bile (spet povprečne)

0,87 in 1,2-kratna povprečna orbitalna hitrost Lune (1,022 km / s). Še bolj jih motijo ​​predvsem Sonce in zapletenost Lunine orbite glede na Sonce (čeprav se v nasprotju s splošnim prepričanjem nikoli ne zavije v zanke).

Tukaj je lepa slika, ki prikazuje točke lagrange Zemlje in Lune:

Lagrangeove točke za sistem Zemlja-luna. Zasluge: David A. Kring, LPI-JSC Center za lunarno znanost in raziskovanje

In tako so izgledale Lissajousove krožnice orbital ARM ARIS (pospešek, ponovna povezava, turbulenca in elektrodinamika interakcije Lune s Soncem) vesoljskega plovila E1 in EML2 vesoljskega plovila P1:

Pogled od zgoraj na orbite ARTEMIS, ko prehajajo iz oris Lissajous v obliki ledvic na obeh straneh
luno v kroženje okoli lune. Zasluge: NASA / Goddard Space Flight Center

Prikaz orbit osvoboditve Artemis-P1, bočni ali ekliptični pogled. Zasluge: NASA / Goddard


Stabilnost

Čeprav so točke L1, L2 in L3 nominalno nestabilne, se izkaže, da je mogoče okoli teh točk najti (nestabilne) periodične orbite, vsaj v omejenem problemu treh teles. Te periodične orbite, imenovane "quothalo" orbite, ne obstajajo v dinamičnem sistemu celotnega n-telesa, kakršen je Osončje. Vendar v sistemu n-telesa obstajajo kvaziperiodične (tj. Omejene, vendar ne natančno ponavljajoče se) orbite, ki sledijo krivuljam Lissajousove krivulje. Te kvazi-periodične Lissajusove orbite so tisto, kar je uporabila večina dosedanjih misij Lagrangian-point. Čeprav niso povsem stabilne, lahko razmeroma skromen napor pri vzdrževanju postaj vesoljskim plovilom omogoča, da ostanejo v želeni Lissajousovi orbiti daljše obdobje. Izkazalo se je tudi, da vsaj v primeru misij Sonce-Zemlja-L1 dejansko je zaželeno, da se vesoljsko plovilo postavi v veliko amplitudo (100 000–200 000 km ali 62 000–124 000 milj) okoli Lissajousove orbite, namesto da bi se postavilo na točko Lagrangian, ker s tem vesoljsko plovilo ni v neposredni povezavi med Soncem in Zemljo in s tem zmanjšuje vpliv sončnih motenj na komunikacije Zemlja-vesoljska plovila. Podobno lahko velika amplitudna orbita Lissajous okoli L2 prepreči sondo zunaj Zemljine sence in tako zagotavlja boljšo osvetlitev sončnih celic.

Primer je Zemlja-Sonce, za Luno-Zemljo pa je enak, le sorazmerno manjši. To pomeni, da imate lahko okoli teh točk polstabilne orbite, veliko večje od predvidenih vesoljskih plovil. Dokler imate mase nepomembne v primerjavi z maso Zemlje in Lune in ne dovolj, da bi med njimi ustvarili merljivo gravitacijo ali druge sile, ni praktične omejitve, koliko jih lahko namestite.

Upoštevajte le, da več kot jih boste porabili, da bi se držali proč, se izogibali senci in ohranjali & quotin orbito & quot - vendar razlika ne bi smela biti dramatična.

Kolikor razumem, za L4 in L5 takšne tirnice niso tako enostavne, niti nemogoče, zato bi morali imeti vsa plovila aktivno medsebojno sledenje in skoraj nenehno uporabljati gorivo. Kljub temu je mogoče, da tam že obstajajo oblaki medplanetarne snovi. Če je lahko oblak dolgoročno razmeroma stabilen, bi lahko tudi vse, kar lahko vklopite v ta oblak. Praktične omejitve so zame pretežke za izračun - manj goriva ste pripravljeni porabiti, bližje točki morate biti in / ali večji zagon in manj stabilnosti morate sprejeti.


9 Odgovori 9

Ko pogledamo dinamiko vrtečega se referenčnega okvira, na delček delujejo 4 sile: gravitacijski poteg iz masivnih teles, centrifugalni odriv od središča vrtenja (med masivnimi predmeti) in Coriolisova sila .

Prve tri sile so odvisne od položaja delca in jih je mogoče izpeljati iz potenciala (ki je odvisen tudi od položaja), katerega krivulje ravni so prikazane na sliki, predstavljeni z vprašanjem. Ta potencial ima lokalne maksimume pri L4 in L5.

Coriolisova sila je odvisna od hitrosti delca: pravokotna je nanjo, vsebovana je v ravnini gibanja in sorazmerna s hitrostjo. Zakrivi gibanje delca v desno (če se masivna telesa in referenčni sistem vrtijo v nasprotni smeri urnega kazalca, kar vidite v našem Osončju, če stojite na severnem polu Zemlje).

Če delček, postavljen na L4, poskuša točko zapustiti z blago hitrostjo, Coriolisova sila ukrivi svojo pot. Pot je preveč kodrasta, da bi kam prišla. Oglejte si animacijo na http://demonstrations.wolfram.com/OrbitsAroundTheLagrangePointL4/.

Seveda to ne dokazuje, da bo delec za vedno ostal blizu L4. Dokazov ne poznam. Videl sem nekaj izračunov, ki kažejo, da je dinamična enačba, linearizirana na L4, stabilna, če je masno razmerje masivnih predmetov dovolj veliko, vendar to tudi ni dovolj za dokazovanje stabilnosti pri nelineariziranem problemu.

Prepričan bi bil, da je ravnotežje stabilno, če bi mi pokazali, da obstaja ohranjena količina (odvisno od položaja in hitrosti), ki ima na tej točki faznega prostora strog lokalni ekstrem (položaj = L4, hitrost = 0).

"Energija" (zgoraj obravnavani potencial + kinetična energija, izmerjena v našem neinercialnem referenčnem sistemu) je ohranjena, ker je Coriolisova sila pravokotna na smer, zato ne opravlja dela (v resnici v lagrangovski mehaniki izhaja od potenciala, ki je odvisen od položaja in hitrosti delca). Toda ta količina nima ekstrema v naši ravnotežni točki, ker ima potencial lokalni maksimum pri L4 in je kinetični izraz najmanjši, če je hitrost 0.

Torej ne morem dokazati, da je ravnovesje stabilno.

Tu je še en način gledanja. Naj bodo naše tri mase $ M_1 $, $ M_2 $, $ M_3 $. Pri problemu s tremi telesi, ki ga obravnavamo, se vrti celoten okvir, ki vsebuje $ M_1 $, $ M_2 $ in $ M_3 $.

Prav imate, če mislite, da če bi bil ta okvir določen, bi točki L4 in L5 to storili ne biti stabilen. Konec koncev, če motiš $ M_3 $ iz L4 ali L5, bi se moral samo spustiti po potencialnem hribu.

Tu pa deluje druga sila. Ker se okvir vrti, obstaja fiktivna sila, imenovana Coriolisova sila, ki bi jo čutili. To je ista sila, zaradi katere se orkani obračajo v spirale, če jih gledamo iz vesolja.

Ko upoštevamo Coriolisovo silo, postaneta L4 in L5 stabilni fiksni točki. To pomeni, če nekoliko vznemirite $ M_3 $ iz L4, bo le ostal na svoji moteni razdalji in krožil okoli točke L4.

Če si kdo želi ogledati matematiko za to, si oglejte ta uporaben članek.

Kot so komentirali drugi, vključno z OP, je efektivni potencial (sestavljen iz gravitacije in centrifugalnega potenciala) $ V

- frac <| z_1 |> - frac <| z_2 |> - frac < Omega ^ 2 | z | ^ 2> <2> tag <1> $ v orbitalni ravnini $ mathbb^ 2 cong mathbb$ ima globalni maksimum na Lagrangeovih točkah $ L_4 $ in $ L_5 $, $ beginz_1

- frac<2> pm frac < sqrt <3> iR> <2>. End tag <2> $ Tukaj uporabljam enak zapis kot moj Phys.SE odgovor tukaj: $ beginz_1

frac. konec tag <3> $ Običajno testni delci ne želijo biti na globalnem maksimumu! Vendar ne smemo pozabiti na Coriolisovo silo.

Glavna izjava. Ko poskusni delec poskuša zapustiti $ L_4 $ ali $ L_5 $, bo Coriolisova sila to preprečila z odklonom, če eno od masnih razmerij $ m_1 / m_2 $ ali $ m_2 / m_1 $ preseže $ frac <25> <2> + frac <3> <2> sqrt

V tem odgovoru bi rad izračunal ta pogoj razmerja mase (4), ki je omenjen tudi na Wikipediji.

Hesian efektivnega potenciala (1) je $ beginH ^

-3 Omega ^ 2 qquad text qquad det (< bf H>)

Zdaj uporabljamo naslednji izrek $ ^ 1 $, omenjen v ref. 1:

Prva dva pogoja sta izpolnjena: $ C

0. tag <8> $ Tretji pogoj je 0 $

27 levo ( epsilon ^ 2_2- epsilon_2 + frac <1> <27> desno) tag <9>. $ Korene kvadratne enačbe $ D = 0 $ so $ frac

levo < začetek25/26, cr 1/26. Konec desno. tag <10> $ To vodi do pogoja (4). $ Box $

$^1$ Dokaz izrek: Linearizirana EOM v Lagrangeovi točki $ < bf z> = < bf 0> $ v orbitalni ravnini $ mathbb^ 2 $ bere

kjer je prvi izraz na rhs. je Coriolisova sila. Hessian je resnična simetrična matrica in jo je zato mogoče diagonalizirati z dvema glavnima osema. Po možni rotaciji koordinat $ < bf z> mapsto e ^< bf z> $, lahko domnevamo, da je hesen

je diagonalno. (Vrtenje se zamenja s Coriolisovim izrazom (11) in pusti, da so trije pogoji v izreku nespremenljivi!) EOM-ji (11) so 2 sklopljeni homogeni ODE 2. reda s konstantnimi koeficienti. Njihova značilna enačba je enačba 4. reda $ 0

levo | začeti lambda ^ 2 + H_1 & amp -2 Omega lambda cr 2 Omega lambda & amp lambda ^ 2 + H_2 konec desno |

( lambda ^ 2) ^ 2 + B lambda ^ 2 + C tag <13>, $, ki ima 4 korenine $ lambda ^ 2

frac <-B pm sqrt> <2> tag <14>. $ Eq. (13) je enačba 2. reda v $ lambda ^ 2 $. Rešitev dveh koordinat $ z ^ 1 $ in $ z ^ 2 $ sta linearni kombinaciji eksponentov $ e ^ < lambda t> $, kjer je $ lambda $ koren. Pogoj stabilnosti je, da je $ < rm Re> ( lambda) leq 0 $ za vse 4 korenine.

Vendar zaradi simetrije v enačbi (13), če je $ lambda $ koren, je tudi $ - lambda $. Pogoj stabilnosti je torej, da je $ < rm Re> ( lambda) = 0 $ za vse 4 korenine, torej da je $ lambda $ namišljena. Ali enakovredno, da $ lambda ^ 2 leq 0 $ ni pozitivno za vse 4 korenine.

To je mogoče le, če je diskriminatorni $ D geq 0 $ v eq. (14) ni negativno, to je 3. pogoj v izreku.

Prvi & amp 2. pogoj $ C, B

0 tag <15> $ izhaja iz znanega dejstva, da je $ C

lambda ^ 2 _ ++ lambda ^ 2_- tag <16> $ v enačbi 2. reda (13) je zmnožek oziroma vsota njegovih korenin. $ Box $

Mislim, da je tu nekaj dobrih razlag, vendar bom poskušal dodati zelo poenostavljeno, upam, intuitivno razlago.

Najprej se dogovorimo za nekatere konvencije. Recimo, da gre Zemlja v nasprotni smeri urnega kazalca okoli Sonca. Gre po krožni orbiti na razdalji $ R $ (od barycentra) z kotno hitrostjo $ Omega $.

Osredotočili se bomo na L4. Najprej predpostavimo, da ste začeli točno na L4 in se gibali s pravo hitrostjo, da bi ostali tam. To je zagotovo ravnotežje, ki ne zahteva nobene sile za ohranitev - vprašanje stabilnosti bomo za kratek čas pustili pri miru. Kakšno hitrost greš med bivanjem na L4? No, vaša kotna hitrost mora biti preprosto hitrost vzorca $ Omega $, kar pomeni, da se v korotirajočem okvirju (tistem, v katerem sta Sonce in Zemlja pritrjeni tako kot na sliki) sploh ne premikate. V vztrajnostnem okviru z mikrosrediščem sistema morate imeti hitrost $ Omega R $ in je v celoti usmerjena v azimutno smer - to je tangens na krog vaše orbite.

Zdaj pa predpostavimo, da ste premaknjeni iz tega prijetnega ravnotežnega položaja. Za natančnost domnevamo, da se zdaj znajdete nekoliko bližje barycentru, ki ste ga premaknili vzdolž črte, ki ga povezuje z L4. Also, you didn't lose too much kinetic energy (to be made precise in the next paragraph). This is important. If something, say a viscous drag, keeps draining your total energy, you will imeti to fall into a lower part of the potential surface, and you won't be able to stay near L4.

Another simplifying assumption: your momentum is still in the same direction as it was when you were blissfully sitting at L4. That is, it is entirely azimuthal. So what's your situation now. Well, your new distance from the barycenter is $R - Delta R$. To keep up with the pattern speed (i.e., to not be moving with respect to the Earth and L4 in that diagram), you need an azimuthal speed of $Omega (R - Delta R) < Omega R$. You don't need as much speed, and hence you don't need as much kinetic energy, to keep up with the rotation. You originally had a specific kinetic energy (kinetic energy per unit mass) of $(1/2) Omega^2 R^2$, and now as long as you have more than $(1/2) Omega^2 (R - Delta R)^2$, you'll advance ahead of the pattern.

So referring to the figure, you were displaced to somewhere below and to the left of L4, and now you'll be moving up and to the left, at least initially. Just like any test mass with a tangential velocity too great for a circular orbit, you'll be moving outward. In the rotating frame, this could be construed as a manifestation of the Coriolis force. [Aside: The Coriolis force acts in the direction $-vec imes vec$, and with $vec$ pointing up out of the page and $vec$ (your velocity in the rotating frame) pointing azimuthally counterclockwise, you can see this will cause an outward-directed acceleration.] But this is more obvious in the inertial frame, where you're now going too fast for the Sun's gravity to bend your path into a circle.

So what happens? As you advance ahead of the pattern (your angular velocity is greater than $Omega$), you also are pushed outward. Eventually you find yourself at a distance $R$ again, but now you're ahead of (counterclockwise of, up and to the left of) L4. The radial "force" will vanish somewhere around here, but remember you have inertia, whether your reference frame is inertial or not! So you'll coast outward, to distances from the barycenter greater than $R$. On this side of $R$, however, everything is reversed. You don't have enough speed to keep up with an angular velocity $Omega$, so you fall behind. You are now moving counterclockwise in that rotating frame, looping around the outside of L4. Of course, because you're going too slow to keep a circular orbit (described in the inertial frame), or because there's an inward-directed Coriolis force (described in the rotating frame), you're accelerated inward. Eventually you'll move around behind L4 and return somewhere near where you started this journey just after getting displaced.

The orbits can be complicated to describe analytically, but hopefully this shows where the "forces" come into play, and where they're directed. You end up tracing a path that goes clockwise around L4 (note all my other uses of "clockwise"/"counterclockwise" have been with respect to the barycenter).

One final note: In the rotating frame this is truly a dynamics problem, where you can't get the motion just by differentiating a simple potential. Note that we started to do that, and that's what lead to the confusion. In addition to the gravitational potentials induced by the two masses, we added a term to the effective potential (the function whose contours are plotted in the diagram) to take care of centrifugal force: $ Phi_ ext(vec) = -G left(frac-vec_odot vert> + frac-vec_oplus vert> + frac<2lvert vec_oplus-vec_odot vert^3> lvert vec vert^2 ight), $ where $vec$ is the two-dimensional vector in the plane of the system with origin at the barycenter. (Binney & Tremaine's Galactic Dynamics derives this in a roundabout aside there are probably more direct treatments.) We can only stop here, however, if we only want to consider forces on particles at rest in the rotating frame. As pointed out in another post, the centrifugal force ($-vec imes vec imes vec$) isn't the only fictitious force we have to worry about. If the test object has a velocity with respect to the rotating frame, as in the case at hand, we have the Coriolis force ($-2vec imes dot>$), which we did not account for in setting up the effective potential. The reason is it's not just a function of 2-D position space, but of the whole 4-D phase space. There's one other common fictitious force that fortunately we didn't have to consider: the Euler force ($-dot> imes vec$). This would only come into play if the pattern speed were changing (say if the Earth had some additional acceleration, perhaps from being in an eccentric orbit).


Poglej si posnetek: How to Create Insert Trigger Using SQL Server (Oktober 2022).